Lekcja 16 · Liczby

Rekurencja: od poprzedniej wartości

Większość naszych modeli w czasie: weź to, co było, zrób jeden krok, zapisz nowy stan. To nie „wzór na n lat z pamięci” — to przepis na jutro.

Po tej lekcji

• Zapisujesz x_n+1 = … z jawnym x₀.
• Robisz jeden krok ręcznie i wiesz, która komórka Excela jest x_n.
• Odróżniasz wzór „na teraz” (pizza, autobus) od historii w czasie (lokata, klub, choroba).

Sytuacja

Ta sama lokata z lekcji 15, tylko patrzymy na nią jak na maszynkę kroków. Pytanie na kartkówkę będzie brzmiało: dam ci x₀ i przepis — podaj x₁. Nie musisz znać wzoru z potęgą.

Karta modelu: dane, założenia, parametry

Rodzaj: dana z dokumentu lub pomiaru; założenie — świadome uproszczenie; parametr — gałka, którą kręcimy w wariantach; wynik — to, co model ma policzyć.

x_n+1 = x_n × 1,05,   x₀ = 1000

W Excelu wiersz 2 to x₀, wiersz 3 to =A2*1.05, czyli x₁. Przeciąganie w dół to pętla. W Pythonie ten sam pomysł: funkcja dostaje start, krok i liczbę powtórzeń.

def kolejne(x0, krok, n):
    x = x0
    historia = [x]
    for _ in range(n):
        x = x + krok
        historia.append(x)
    return historia

print(kolejne(5, 2, 5))
print(kolejne(10, 3, 4))

Tu krok jest dodawaniem, nie mnożeniem — żeby było widać, że rekurencja to ramka, a w środku może być +2, ×1,05 albo wzór z pojemnością z lekcji 20.

Ćwiczenia samodzielne

Zrób przynajmniej dwa. Wynik Excel i Python ma się zgadzać z kartką.

1. x₀=8, x_n+1=x_n+r x_n (1−x_n/40), r=0,4. Policz x₁ (to zapowiedź lekcji 20).
2. W Excelu 10 wierszy lokaty. Która komórka jest x_n, a która x_n+1?
3. Python: funkcja def kolejne(x0, krok, n) wypisuje x0..x5 dla x←x+2, start 5.
4. Napisz rekurencję słowami dla modelu autobusu, gdy każdego dnia +1 chory (C rośnie). To nie ten sam wzór J=28−C liczony raz — opisz różnicę.